Si $ (X, \tau) $ es un espacio topológico, entonces las siguiente son equivalentes:

$ X $ es localmente euclideano,

para todo punto de $ X $ existe una vecindad homeomorfa a $ \mathbb R^n $,

para todo punto de $ X $ exisxte una vecindad homeomorfa a una bola abierta de $ \mathbb R^n$.

Se definió un atlas $c^k$ como un altas cuyos cambios de coordenadas son todos $c^k$.

Así mismo, se definió una relación de equivalencia en el conjunto de atlas $c^k$ sobre una variedad como sigue:

Dos atlas $\mathcal A_1$ y $\mathcal A_2$ son equivalentes si su unión es nuevamente un atlas.

Así mismo se definió la noción de atlas maximal como cualquier atlas que no está contenido propiamente en ningún otro atlas.