Semana 2
Del 6 al 9 de febrero.
Lunes - Feriado
Martes
Espacios cociente
Continuamos con los ejemplos de variedades topológicas que se obtienen como espacios cociente.
$\mathbb R / \sim $
Donde $ x \sim y $ si y solo si $ x-y \in \mathbb Z $.
Si denotamos por $ p : \mathbb R \to \mathbb R /\sim $ a la función de proyección y dotamos a $ \mathbb R/ \sim $ con la topología cociente, podemos demostrar:
Proposición
Para todo punto $ t \in \mathbb R $ existe una vecindad abierta $\mathcal U$ que satisface que $p(\mathcal U)$ es abierto y además $p$ es un homeomorfismo entre $ \mathcal U $ y $ p(\mathcal U)$.
Con esta proposición demostramos que $ \mathbb R / \sim $ es una 1-variedad topológica.
Si definimos $ f: \mathbb R \to \mathbb S^1 $ como $ f(t) = (\cos(2\pi t, \sin(2\pi t))$ y utilizando el hecho de que esta función es periódica de periodo uno, podemos afirmar que existe una función $\tilde f : \mathbb R/\sim \to \mathbb S^1$ continua y que satisface: $$ f = \tilde f \circ p.$$
Se puede probar que esta función de hecho es un homeomorfismo.
$\mathbb R^2 / \sim $
Donde $(x,y) \sim (w, z)$ si y solo si $(x-w, y-z) \in \mathbb Z \times \mathbb Z$. De forma análoga al caso anterior se puede demostrar que $ \mathbb R^2 /\sim $ es una variedad.
Miércoles
Continuamos con los ejemplos de espacios cociente.
Definimos el espacio proyectivo real de dimensión n como $ \mathbb R^{n+1} \setminus \{0\} $ módulo la relación de equivalencia $v \sim w$ si y solo si existe un número $\lambda \in \mathbb R$ tal que $v = \lambda w$.
Demostramos que la recta proyectiva real $ \mathbb R \mathbb P^1$ es una 1-variedad homeomorfa a $\mathbb S^1$. También demostramos que el plano proyectivo real $ \mathbb R \mathbb P^2$ es una 2-variedad compacta y conexa.
Véase: Real projective space - Wikipedia