Semana 1 - Introducción
Del 5 de agosto al 9 de agosto.
Miércoles
Breve presentación del curso
Discusión sobre lo que estudia la topologia, la topología diferencial, la geometría diferencial, etc.
La topología diferencial busca generalizar el espacio euclideano (junto con todas sus estructuras, técnicas y herramientas) pero busca un balance entre la generalidad y la riqueza de la teoría. El objetivo no es trabajar en un contexto tan general que se pierda la capacidad de utilizar algunas herramientas del cálculo, ni tampoco un contexto tan particular que el único objeto de estudio sea el espacio euclideano.
En ese sentido se busca:
- ser más general que el cálculo en espacios euclideanos,
- mantenerse en el contexto de dimensión finita,
- evitar algunos espacios topológicos (patológicos) es decir, la topología diferencial no es topología general
- a diferencia de la geometría diferencial, no se busca que las nociones de distancia o longitud tengan sentido,
- poder abarcar ejemplos como:
- todos los espacios euclideanos, más en general todos los espacios vectoriales (reales) de dimensión finita,
- todos los abiertos de espacios euclideanos (se puede hacer cálculo, ¿qué pasa con los no abiertos?),
- las esferas unitarias: \(\mathbb S^n\),
- el toro,
- curvas y superficies,
- algunos otros más exóticos como grupos de matrices: \(\operatorname{GL}_n(\mathbb R)\), \(\operatorname{O}(n)\), \(\operatorname{SL}_n(\mathbb R)\),
- banda de Möbius, botella de Klein,
- cocientes de espacios
- espacios que parametrizan cosas: grasmanianos, espacios fase, etc.
Una vez definidos los objetos, lo siguiente es definir los morfismos (funciones apropiadas para relacionar y comparar a los objetos) y estructuras adicionales que pueden surgir, operaciones para construir nuevos objetos a partir de los ya existentes etc. Los morfismos buscarán generalizar la noción de transformación diferenciable (\(C^\infty\), lisas, suaves) entre abiertos de espacios euclideanos. Las operaciones generalizarán el producto cartesiano, la union etc.
Como es usual en matemáticas, uno de los problemas más importantes que surge es el de clasificación: para cada dimensión dar una lista exhaustiva de objetos que no sean equivalentes entre si y que cualquier objeto de dicha dimensión sea equivalmente a alguno de la lista. Más ambicioso: dar algoritmos, invariantes etc. para distinguirlos; poder distinguir morfismos no-equivalentes, bajo diferentes nociones de equivalencia.
Cosas en las que la topología diferencial ha influido, es el punto de partida, nutre etc:
- geometría riemanniana
- mecánica clásica
- teoría de la relatividad general
- grupos de Lie
- EDOs
- teoría de campos (teoría gauge, Yang-Mills).
Jueves
Definición provisional de variedad diferenciable
Empezamos a discutir cuál podría ser una buena definición de variedad diferenciable, partiendo de la idea de variedad topológica:
Objetos geométricos (espacios topológicos) que sean localmente euclieanos. La idea de construir espacios «pegando» pedazos euclideanos, dicho de otra forma, espacios que localmente son euclideanos pero globalmente quiza no. Además requerimos que se pueda hablar de la noción de diferenciablidad para funciones (reales) definidas sobre estos espacios.
Ejemplo 1 - La esfera unitaria
Para poder hablar de la esfera unitaria como variedad (topológica primero y luego diferenciable) empezamos por hablar de la topología de subespacio y de la métrica restringida en la esfera. Posteriormente demostraremos que la esfera con dicha topología es un espacio localmente euclideano.