Semana 2 - Definiciones básicas

Del 12 de agosto al 16 de agosto

Tarea semanal

Lunes

Comentamos dudas sobre el cuestionario diagnóstico. En particular repasamos algunos conceptos y resultados de álgebra lineal, mismos que pueden consultarse en las notas.

También hablamos de algunos ejemplos de cómo el cálculo permite obtener información global de funciones diferenciables a partir de información infinitesimal (su derivada).

Martes

Continuamos los comentarios sobre el cuestionario diagnóstico. Demostramos la siguiente afirmación:

No existe ninguna función diferenciable \(f:\mathbb R^2 \to \mathbb R\) tal que su derivada no se anule en ningún punto y además el conjunto de nivel \(f^{-1}(0)\) sea igual al conjunto \[ X = \{(x,y) | x^2 = y^2\}.\]

Para esto recordamos y utilizamos el teorema:

Teorema:

Si \(f: \mathcal U \to \mathbb R\) es una función diferenciable definida sobre un abierto de \(\mathbb R^2\) y \(p\in\mathcal U\) es un punto tal que \[D_p f \neq 0\] entonces existe un abierto \(\mathcal W \subseteq \mathcal U\) y una función diferenciable \(g:(a,b)\to \mathbb R\) tales que el conjunto de nivel de \(f\) al que pertenece \(p\) intersección \(\mathcal W\) es igual a la gráfica de \(g\), i.e. o bien \[ \{q\in \mathcal U | f(q) = f(p)\}\cap \mathcal W = \{(x, g(x)) | x\in (a,b)\}\] o bien \[ \{q\in \mathcal U | f(q) = f(p)\}\cap \mathcal W = \{(g(y), y) | y\in (a,b)\}.\]

Es decir, en una vecindad de un punto en el que la función tenga gradiente no nulo, el conjunto de nivel al que pertenece el punto es una curva regular.

El teorema anterior es un caso particular del teorema de la función implícita.

Ejemplo 1 - La esfera unitaria

Retomamos el ejemplo de la esfera unitaria. Demostramos que efectivamente es un espacio localmente euclideano, por lo que es un ejemplo de variedad topológica.

Para esto, argumentamos que la esfera se puede cubrir con una unión de seis hemisferios abiertos, cada uno de los cuales es homeomorfo a una bola abierta de radio uno en el plano euclideano. Los homeomorfismos se pueden describir explícitamente como restricciones de las proyecciones sobre cada uno de los planos coordenados.

También mencionamos que se pueden utilizar las proyecciones estereográficas (desde el polo norte, o el polo sur) para cubrir a la esfera con dos abiertos que son homeomorfos a \(\mathbb R^2\).

Miércoles

Dado que por lo general las variedades topológicas que encontraremos no son conjuntos abiertos de \(\mathbb R^n\), no podemos usar la noción de diferenciabilidad de funciones usual.

Podríamos intentar usar los homeomorfismos entre los abiertos de la variedad y abiertos de algún espacio euclideano como sigue:

Dada una k-variedad topológica \(X\), una función continua \({f:X\to \mathbb R}\) y un punto \({p\in X}\), podríamos decir que \(f\) es diferenciable en \(p\) si con algún homeomorfismo \({\varphi : \mathcal U \to \mathcal V \subseteq \mathbb R^k}\) entre una vecindad de \(p\) y un abierto de \(\mathbb R^k\) se cumple que la función \(f\circ\varphi^{-1}\) es diferenciable. Notemos que la función \({f\circ\varphi^{-1}}\) es una función entre un abierto de \(\mathbb R^k\) y \(\mathbb R\), por lo que sí se puede usar la noción de diferenciabilidad usual.

Sin embargo, esto podría traer problemas, pues existen funciones que con respecto a un homeomorfismo son diferenciables, mientras que con respecto a otro no lo son:

Ejemplo

Consideremos la función \(f:\mathbb S^2 \to \mathbb R\) definida como la restricción de la función altura, es decir, \(f(x,y,z)=z\). Si consideramos el homeomorfismo \(\psi: \mathcal V\to \mathcal U\) entre el disco unitario abierto en \(\mathbb R^2\) y el hemisferio superior abierto de \(\mathbb S^2\) dado por \(\psi(x,y) = (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})\) podemos notar que la composición \(f\circ \psi\) es una función diferenciable. En cambio, si utilizamos el homeomorfismo \(\widetilde\psi\)¹ definido sobre los mismos conjuntos pero ahora dado por \[\widetilde\psi (x,y) = (x^{1/3}, y^{1/3}, \sqrt{1- x^{1/3} - y^{1/3}}) \] podemos notar que la composición \(f\circ \widetilde\psi\) no es una función diferenciable.

Puesto que a priori no hay un criterio para elegir a \(\psi\) por sobre \(\widetilde\psi\), esto representa un problema para definir la noción de diferenciabilidad sobre variedades topológicas.

Hay dos posibilidades para resolver este problema:

• Dar una definición de variedad diferenciable que incorpore la noción de algunos homeomorfismos con \(\mathbb R^n\) distinguidos. Siguiendo este camino se llega a las nociones de atlas diferenciable, estructura diferenciable, y finalmente a la idea de variedades diferenciales abstractas.
• Trabajar exclusivamente con variedades que son subconjuntos de algún espacio euclideano, y extender la noción de diferenciabilidad de funciones usual, para que tenga sentido sobre conjuntos no necesariamente abiertos de algún espacio euclideano. Siguiendo este camino se llega a la noción de subvariedades de \(\mathbb R^n\).

En el curso seguiremos principalmente el segundo enfoque y ocasionalmente mencionaremos cómo se pueden extender las definiciones y resultados al caso de variedades abstractas.

Cabe señalar que la restricción de trabajar únicamente con subconjuntos de \(\mathbb R^n\) es solo aparente, pues un famoso teorema garantiza que toda variedad diferenciable abstracta se puede realizar como un subconjunto de algún espacio euclideano.

Sea \(X\subseteq \mathbb R^n\) un conjunto arbitrario y \(f:X \to \mathbb R^m\).

Definición:

Decimos que \(f\) es diferenciable en \(p\) si existe un abierto \(\mathcal U \subseteq \mathbb R^n\) que es vecindad de \(p\) y una función diferenciable (en el sentido usual) \(F:\mathcal U \to \mathbb R^m\) que es una extensión de \(f\), es decir: \[F|_{\mathcal U\cap X} = f|_{\mathcal U \cap X}.\] Si \(f\) es diferenciable con el criterio anterior para todo punto de su dominio, decimos que es diferenciable.

Esta definición permite hablar de difeomorfismos entre subconjuntos arbitrarios de los espacios euclideanos.

Con esto podemos dar finalmente la definición de los objetos que estudiaremos a lo largo del curso:

Definición (variedad diferencial):

Decimos que un subconjunto \(X\subseteq \mathbb R^n\) es una k-variedad diferencial si es localmente difeomorfo a \(\mathbb R^k\), es decir, si para todo punto \(p\in X\) existe un abierto \(\mathcal U \subseteq X\) que es vecindad de \(p\) y además es difeomorfo a \(\mathbb R^k\).

Jueves

Dado que ya tenemos por lo menos un ejemplo no trivial de una variedad diferenciable, sería útil dar un ejemplo de una variedad topológica que no sea variedad diferencialbe. Esto nos servirá para explorar los límites de la definición, y ver que efectivamente la definición de variedad diferenciable es más restrictiva que la de variedad topológica.

Ya demostramos que la gráfica del valor absoluto es una variedad topológica. De hecho mencionamos que la gráfica de cualquier función continua definida sobre un abierto de algún espacio euclideano es una variedad topológica.

Para demostrar que la gráfica del valor absoluto no es una variedad diferenciable procedimos por reducción al absurdo y asumimos que sí lo fuera.

En ese caso podemos encontrar funciones diferenciables que cumplen:

\(\varphi: \mathcal U \to \mathcal V\) con \(\mathcal U\subseteq X\) una vecindad abierta del origen y \(\psi: \mathcal V\to \mathcal U\) la inversa de \(\varphi\), donde además \(\mathcal V\subseteq \mathbb R^1\) es un abierto.

Denotaremos por \(p\) a \(\varphi((0,0))\).

Notemos que \(\psi\) es diferenciable en el sentido usual. Como \(\varphi\) es diferenciable, tiene que existir una extensión diferenciable en el sentido usual \(\Phi:\widetilde\mathcal U \to \mathbb R^1\) definida en un abierto de \(\mathbb R^2\) que es vecindad del origen.

En particular eso implica que \(\Phi\circ \psi\) es la identidad en \(\mathcal U\), por lo que usando la regla de la cadena obtenemos: \[D_{(0,0)}\Phi \circ D_{p}\psi = D_{p}\operatorname{Id}_{\mathcal V} = \operatorname{Id}_{\mathbb R^2} \]

De aquí vemos que la derivada de la función \(\psi\) en \(p\) debería ser inyectiva. Por otro lado, considerando que la función \(y \circ \psi\) tiene un mínimo en \(p\)², podemos concluir: \[D_{(0,0)}y \circ D_{p}\psi = 0 \] es decir: \[\operatorname{Im}(D_p\psi) \leq \operatorname{Nuc}D_{(0,0)}y = \mathbb R\times \{0\}.\]

Ahora, si definimos la función lineal \(T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^1\) como \(T(x,y)= x+ y\), podemos ver que \(T\circ \psi\) también tiene un mínimo en \(p\) y un argumento similar prueba que \[\operatorname{Im}(D_p\psi) \leq \operatorname{Nuc}D_{(0,0)}T = \operatorname{Nuc}(T).\]

Como \(\operatorname{Nuc}(T)\cap \mathbb R^1 \times \{0\} = \{0\}\) concluimos que la derivadad de la función \(\psi\) en \(p\) es idénticamente cero. Esto último es una contradicción pues habíamos demostrado que \(D_p\psi\) era inyectiva.

Una parte del argumento anterior se puede generalizar a cualquier variedad diferenciable:

Proposición:

Si \(X \subseteq \mathbb R^n\) es una k-variedad, \( p \in X\), \(\varphi : \mathcal U \to \mathcal V\) y \(\psi: \mathcal V \to \mathcal U\) son dos difeomorfismos entre un abierto de \(X\) que contiene a \(p\) y un abierto de \(\mathbb R^k\) entonces la diferencial de \(\psi \) en el punto \(\varphi(p)\) es inyectiva, por lo que en particular, su imagen es un subespacio k dimensional de \(\mathbb R^k\).