Del 19 de agosto al 23 de agosto.

Tarea semanal

Lunes

Comentarios de la tarea dos.

Comentamos algunos ejercicios de la tarea dos. Demostramos que \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\) no es homeomorfo a \(\mathbb R^2\).

Para esto definimos la noción de homotopía y la noción de espacio contraible. Mencionamos que en un espacio contraible, cualquier curva cerrada es homotópica a una curva constante, y además que \(\mathbb R^n\) es contraible.

Por otro lado, es un resultado clásico de análisis complejo que la integral de una función holomorfa a lo largo de una curva es invariante bajo homotopías de la curva.

Combinando estos resultados podríamos argumentar como sigue: si \(\mathbb R^2 \setminus \{(0,0)\} \) fuese homeomorfo a \(\mathbb R^2\) entonces en particular sería contraible, por lo que toda curva debería ser homotópica a una curva constante y consecuentemente todas las integrales complejas a lo largo de cuvas cerradas deberían anularse.

Sin embargo, si consideramos la curva \(\gamma(t) = e^{it}\), definida en el intervalo \([0,2\pi]\), podemos ver que se cumple: \[\int_\gamma \frac 1 z = 2\pi i.\] Con esto concluimos que \(\mathbb R^2\) no puede ser homeomorfo a \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\).

Diferentes descripciones de los subespacios de cierta dimensión

Ya disponemos de una definición precisa de variedad diferenciable, sin embargo muchas veces resulta complicado o laborioso demostarar que algún cierto conjunto es una variedad diferencial. Es por esto que buscaremos definiciones equivalentes, de tal forma que en diferentes contextos alguna de dichas definiciones sea más fácil de utilizar.

Será útil buscar inspiración en el caso análogo en el álgebra lineal:

Definición (grasmanniano):

Dado un espacio vectorial real de dimensión finita \(V\) y un entero k tal que \(0\leq k \leq \operatorname{dim}V\) definimos el grasmaniano: \[\operatorname{Gr}_kV \coloneqq \{W \leq V | \operatorname{W}= k\}. \]

Describir los elementos de \(\operatorname{Gr}_k\mathbb R^n\) es análogo a describir las k-variedades en \(\mathbb R^n\):

Martes

Teorema fundamental de clasificación local de funciones diferenciables.

El siguiente teorema es una herramienta fundamental en topología diferencial pues permite describir el comportamiento local cerca de un punto de cualquier función diferenciable bajo la única hipótesis de que tenga rango constante en alguna vecindad del punto. Para esto, primero definimos:

Definición:

Si \(f: \mathcal U \to \mathbb R^m\) es una función diferenciable definida en un abierto de \(\mathbb R^n\) su rango es la función que a cada punto del dominio le asigna el rango de la diferencial de \(f\):

\[ \begin{aligned} \operatorname{rk}(f): \mathcal U &\to \mathbb N \\ x & \mapsto \operatorname{rk}(D_xf)\end{aligned} \]

Teorema (del rango):

Si \(f: \mathcal U \to \mathbb R^m\) es una función diferenciable definida en un abierto de \(\mathbb R^n\) y tiene rango constante igual a \(k\), entonces para cada punto \(p\in \mathcal U\) existen difeomorfismos \({\varphi:\mathcal V_1 \to \mathcal U_1}\) y \({\psi:\mathcal U_2 \to \mathcal V_2}\) tales que \(p\in \mathcal U_1 \subseteq \mathcal U\), \(f(p)\in \mathcal U_2 \), y además, la composición \(\psi \circ f\circ \varphi \), misma que está definida en una vecindad abierta de \(\varphi^{-1}(p)\), es igual a \[ \psi \circ f \circ \varphi (x_1, \ldots, x_k, x_{k+1}, \ldots, x_n) = (x_1, \ldots, x_k, 0,\ldots, 0),\] es decir, si denotamos por \(\pi_{n\to k}:\mathbb R^n\to \mathbb R^k\) a la proyección en las primeras k coordenadas, y por \(\iota_{k\to m}:\mathbb R^k\to \mathbb R^m\) a la inclusión, entonces se tiene:

Inmersiones y sumersiones

Algunos casos que merecen atención particular de este teorema es cuando la diferencial de la función es inyectiva o suprayectiva:

Definición (sumersión):

Decimos que una función diferenciable \(f: \mathcal U \to \mathbb R^m\) es una sumersión si para todo punto \(p\in \mathcal U\) se cumple que \(D_pf\) es suprayectiva.

Definición (inmersión):

Decimos que una función diferenciable \(f: \mathcal U \to \mathbb R^m\) es una inmersión si para todo punto \(p\in \mathcal U\) se cumple que \(D_pf\) es inyectiva.

En ambos casos, las hipótesis del teorema del rango se satisfacen.