Semana 4 - El espacio tangente
Del 26 al 30 de agosto.
Lunes
Terminamos de demostrar la equivalencia entre las diferentes definiciones de variedad diferencial. Así mismo, definimos los siguientes conceptos:
- subvariedad de \(\mathbb R^n\),
- puntos regulares y críticos, valores regulares y críticos de funciones diferenciables definidas en abiertos de algún espacio euclideano.
Demostramos que el espacio tangente a una variedad en un punto se puede definir equivalentemente como la imagen de la diferencial de una parametrización local de la variedad, o como el núcleo de la diferencial de una función que describe localmente a la variedad como un conjunto de nivel que es preimagen de un valor regular.
En particular esto implica que está bien definido y no depende de la parametrización local ni de la descripción como conjunto de nivel.
Como caso particular de la definición de funciones diferenciables entre conjuntos arbitrarios de espacios euclideanos, podemos definir la noción de funciones diferenciables entre variedades.
Martes
Mencionamos que una función entre variedades es diferenciable si y solo si su representación en cartas coordenadas es diferenciable (en el sentido usual de cálculo) para cualesquiera cartas coordenadas del dominio y codominio (la demostración es un ejercicio de la tarea).
Definimos la diferencial en un punto de una función diferenciable entre variedades como una transformación lineal entre los correspondientes espacios tangentes.
Dicha diferencial se puede calcular alternativamente con la diferencial de la representación en cartas coordenadas de la función.
Miércoles
Algebra de funciones diferenciables, conjunto de funciones localmente definidas y algebra de gérmenes.1
Definición del espacio de derivaciones.
Ejemplo, el tangente a la esfera. El espacio tangente en el polo norte, una base para dicho espacio y las parciales como derivaciones.
Jueves
Coordenadas locales, funciones coordenadas y bases para el tangente.
Bases para el espacio tangente inducidas por una carta.
La diferencial expresada en las bases inducidas por cartas.
Ejemplo de los campos coordenados en la esfera con las cartas dadas por la proyección.
Véase también
Referencias
Véase [BJ] Capítulo 2.