Del 16 de septiembre al 20 de septiembre

Tarea semanal 7

Lunes

Feriado

Martes

Resumen:

La semana [pasada] presentamos las siguientes definiciones:

• Tensores y los espacios \(T^\ell_m(V)\)
• El producto tensorial
• El haz tangente y los campos vectoriales
• Coeficientes de campos vectoriales y los campos coordenados

Campos tensoriales

Ahora que hemos definido y explorado las propiedades más importantes de los espacios tangentes de una variedad arbitraria tenemos lo necesario para definir uno de los conceptos centrales en geomería y topología diferencial: los campos tensoriales.

	Elementos	Familias diferenciables
Álgebra lineal	Vectores	Campos vectoriales
Álgebra multilineal	Tensores	Campos tensoriales

Un \(\binom{\ell}{m}\)-(pre)campo tensorial¹ \(\omega\) sobre una variedad \(X\) es una función \[\omega: X \to \bigsqcup_{p\in X} T^\ell_m T_pX\] tal que para todo punto \(p\in X\) se satisface: \[\omega(p) \in T^\ell_m T_pX.\] Usualmente escribiremos \(\omega_p\) en vez de \(\omega(p)\).

Más adelante veremos una forma más concreta de describir un campo tensorial, y además definiremos la noción de campo tensorial diferenciable.

Transportando tensores bajo tranformaciones lineales

Definimos el pullback de tensores covariantes y el pushforward de tensores contravariantes bajo transformaciones lineales arbitrarias.

Así mismo, definimos ambas operaciones para el caso de tensores mixtos y bajo la hipótesis de que la transformación sea invertible.

Miércoles

Uno de los ejemplos más sencillos e importantes de (pre)campos tensoriales es el de la derivada exterior de funciones diferenciables reales:

Definición:

Sea \(X\) una k-variedad diferencial y \(f:X \to \mathbb R\) una función diferenciable. La derivada exterior de \(f\) es el precampo de \(\binom 10\)-tensores definido sobre \(X\) dado por:

\[ \begin{aligned} df: & X \to \bigsqcup_{p\in X} T^1_0 T_pX\\ & p \mapsto D_pf \\ \end{aligned} \] es decir, el vector cotangente \(df_p\) está dado por \(D_pf:T_pX\to T_{f(p)}\mathbb R\cong \mathbb R\).

Denotaremos al conjunto \( \bigsqcup_{p\in X} T^\ell_m T_pX\) por \(T^\ell_mX\).

Demostramos que si denotamos por \(x_i: \mathbb R^n\to \mathbb R\) a las funciones coordenadas, entonces para cada punto \(p\in \mathbb R^n\) se cumple que \(\{dx_{i p}\}_{i=1}^n\) es una base para el espacio de vectores cotangentes, y además es una base dual a la base natural \(\{\frac{\partial}{\partial x_i}_p\}_{i=1}^n\).

Bases para \(T_pX\) y \(T^*_pX\) determinadas por una carta

Si \(X\) es una k-variedad y \(\varphi : \mathcal U \to \mathcal V\) es una carta de \(X\) y \(p\in \mathcal U\), entonces \(D_p\varphi\) establece un isomorfismo entre \(T_pX\) y \(T_{\varphi(p)}\mathbb R^k\), por lo que podemos usarlo para transportar tensores arbitrarios.

Recordemos que definimos:

\[ \frac{\partial}{\partial \varphi_i}_p = \frac{\partial}{\partial x_i}^\varphi_p \coloneqq D_{\varphi(p)}\varphi^{-1}\left( \frac{\partial}{\partial x_i}_p\right), \] análogamente definimos: \[ d\varphi_{ip} \coloneqq D_p\varphi^*(dx_{i p}), \] es decir, el pullback de \(dx_{ip}\) bajo \(D_p\varphi\).

Dado que transportar vectores y covectores bajo isomorfismos lineales preserva la relación de dualidad, concluimos que dichos elementos son bases duales.

Estructura de \(\operatorname{Fun}(X,\mathbb R)\)-módulo.

Definimos la operación de suma de precampos y notamos que si \(f:X\to \mathbb R\) es una función arbitraria y \(\omega\) es un \(\binom \ell m\)-precampo tensorial, entonces si definimos \(f\omega(p)\coloneqq f(p)\cdot \omega_p\), esto define un nuevo precampo tensorial.

Campos de covectores

Demostramos que para el caso de un precampo de covectores \(\omega\) y si consideramos una carta \(\varphi: \mathcal U \to \mathcal V\), para cualquier punto \(p \in \mathcal U\) se cumple: \[ \omega_p = \sum_{i=1}^k a_i(p) d\varphi_{ip} \] donde los \(a_i(p) \in \mathbb R\) solo dependen de \(p\), por lo que definen un funciones reales sobre \(\mathcal U\) y podemos escribir \[ \omega = \sum_{i=1}^k a_i d\varphi_{i}. \] A las funciones \(a_i:\mathcal U \to \mathbb R\) les llamaremos los coeficientes de \(\omega\) con respecto a la carta \(\varphi\).

Diremos que un precampo es diferenciable, y por lo tanto diremos que es un campo si para cualquier carta sus coeficientes con respecto a dicha carta son funciones diferenciables.

Jueves

Ahora replicaremos la definición anterior que dimos únicamente en el caso de campos de covectores para el caso de campos tensoriales arbitrarios.

Sea \(X\) una k-varidad y \(\varphi : \mathcal U \to \mathcal V\) una carta para \(X\). Sea \(p\in \mathcal U\) un punto arbitrario.

Como ya mencionamos ayer en esta situación, tenemos las bases:

\[ \left\{ \frac{\partial}{\partial x_i}^\varphi_p\right\}^k_{i=1} \] y \[ \left\{d\varphi_{ip} \right\}_{i=1}^k. \]

Como ya hicimos para el caso de tensores en un espacio vectorial arbitrario, podemos dar una base para \(T^\ell_m(T_pX)\) usando las bases anteriores: \[ \left\{ \frac{\partial}{\partial x_{i_1}}^\varphi_p \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x_{i_m}}^\varphi_p \otimes d\varphi_{j_1 p} \otimes \ldots \otimes d\varphi_{j_\ell p} \right\}^k_{i_1,\ldots, i_m, j_1, \ldots, j_\ell=1}. \]

Al igual que en el caso ya discutido, dado un \(\binom \ell m\)-precampo \(\omega\) podemos expresar el tensor \(\omega_p\) en términos de la base anterior: \[ \omega_p = \sum^k_{i_1,\ldots, i_m, j_1, \ldots, j_\ell=1} \omega^{i_1,\ldots, i_m}_{j_1, \ldots, j_\ell}(p) \frac{\partial}{\partial x_{i_1}}^\varphi_p \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x_{i_m}}^\varphi_p \otimes d\varphi_{j_1 p} \otimes \ldots \otimes d\varphi_{j_\ell p} \] donde \(\omega^{i_1,\ldots, i_m}_{j_1, \ldots, j_\ell}(p)\) es un número que depende de \(p\).

Podemos definir las funciones \(\omega^{i_1,\ldots, i_m}_{j_1, \ldots, j_\ell}:\mathcal U\to \mathbb R\) y tenemos la igualdad:

\[ \omega|_{\mathcal U} = \sum^k_{i_1,\ldots, i_m, j_1, \ldots, j_\ell=1} \omega^{i_1,\ldots, i_m}_{j_1, \ldots, j_\ell} \frac{\partial}{\partial x_{i_1}}^\varphi \otimes \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial x_{i_m}}^\varphi \otimes d\varphi_{j_1 } \otimes \ldots \otimes d\varphi_{j_\ell }. \]

A dichas funciones les llamaremos los coeficientes de \(\omega\) con respecto a la carta \(\varphi\).

Con esto podemos definir:

Definición (campo tensorial):

Decimos que un precampo \(\binom \ell m\)-tensorial es un campo si para toda carta \(\varphi :\mathcal U\to\mathcal V\) se cumple que los coeficientes de \(\omega\) con respecto a dicha carta son funciones diferenciables.