Semana 8 - Transversalidad
Del 23 de septiembre al 27 de septiembre
Lunes
En las semanas pasadas definimos los objetos de interés así como las funciones distinguidas que nos permiten relacionarlos. En otras palabras, hemos definido la categoría de variedades diferenciales y transformaciones diferenciales.
En dicha categoría, la noción de equivalencia entre dos objetos es la de difeomorfismo.
Como es usual en matemáticas, una vez que hemos llegado a este punto en la teoría, podemos enunciar uno de los problemas centrales en topología diferencial:
El problema de clasificación.
Dada una dimensión \(n\), ¿es posible dar una lista de variedades de dicha dimensión \(\{X_i\}_{i\in I}\) tales que \(X_i \) no es difemorfa a \( X_j\) si \(i\neq j\) y además cualquier n-variedad es difeomorfa a alguna de la lista?
Tambíen podemos preguntarnos por la existencia de algoritmos que permitan distinguir variedades, o más en general, la existencia de invariantes algebraicos o numéricos.
El problema de clasificación en toda generalidad es práctiamente inaccesible. Algunas simplificaciones que se pueden hacer, es tratar de clasificar variedades conexas y compactas. Esto ayuda un poco pero el problema sigue siendo prácticamente irresoluble salvo en dimensiones bajas.
Operaciones en variedades
Antes de intentar atacar un problema tan complejo, es conventiente tener un amplio repertorio de formas de producir nuevas variedades a partir de variedades ya existentes.
En algunos de los ejercicios previos ya se demostró que el producto cartesiano y la unión ajena de variedades vuelve a ser una variedad.
Así mismo, hemos visto ejemplos en los que la imagen directa de una variedad bajo una transformación diferenciable no es una variedad.
Algunas otras opciones a explorar son las intersecciones de variedades y la preimagen de variedades.
Hemos visto que en algunos casos (la preimagen de valores regulares) las preimágenes sí son variedad, pero no siempre.
Más adelante veremos que las intersecciones y preimágenes son dos presentaciones del mismo problema.
Ejemplo de hiperboloide \(z=xy\) y su intersección con planos de diferente altura.
Notar que análogamente se puede pensar como preimágenes de la función altura y mencionar que el hecho de que la intersección sea variedad está intimamente relacionado con el teorema del rango y con los valores regulares. Calcular los tangentes y notar que si coinciden (son paralelos, no transversales) entonces la intersección no es variedad.
Adelanto de la semana: el problema de las intersecciones está intimamente ligado con el problema de las preimágenes. A diferencia de otras construcciones, no siempre da como resultado una nueva variedad, sin embargo existen criterios suficientes y fáciles de verificar. A dicho criterio se le conoce con el nombre de transversalidad.
Véase también:
Martes
Retomar el ejemplo y notar que las intersecciones problemáticas se dan justamente cuando los tangentes de las variedades coinciden.
A partir de este hecho podríamos llegar a la siguiente heurística:
Para que la intersección de subvariedades no sea problemática, es suficiente que los tangentes en los puntos de intersección sean «lo más diferentes posibles» (como subespacios del espacio tangente de la variedad ambiente).
Transversalidad de subespacios vectoriales
Para formalizar la idea de que dos subespacios vectoriales de un espacio dado sean «lo más diferentes posibles» damos la siguiente definición:
Definición (transversalidad para subespacios vectoriales):
Dados dos subespacios vectoriales \(W_1\) y \(W_2\) de un espacio vectorial \(V\) decimos que se intersecan transversalmente, o más simplemente, que son transversales si se cumple \[ W_1 + W_2 = V.\]
Proposición:
Si \(W_1\) y \(W_2\) son subespacios transversales de un espacio vectorial \(V\) entonces sus dimensiones satisfacen: \[ \operatorname{dim}(W_1) + \operatorname{dim}(W_2) - \operatorname{dim}(W_1 \cap W_2) = \operatorname{dim}(V)\]
Transversalidad para intersecciones de subvariedades
Utilizando la definición de transversalidad de subespacios para el caso de los espacios tangentes a dos subvariedades en los puntos de intersección, obtenemos la siguiente definición:
Definición (transversalidad para subvariedades):
Dadas das subvariedades \(X\) y \(Z\) de una variedad \(Y\) decimos que se intersecan transversalmente, o más simplemente, que son transversales si para todo punto \(p\in X\cap Z\) se cumple \[ T_pX + T_pZ = T_p Y.\]
Teorema
Si \(X\) y \(Z\) son dos subvariedades transversales de una variedad \(Y\) entonces la intersección \(X \cap Z\) es una subvariedad de \(Y\) y además la dimensión de dicha subvariedad es igual a \( \operatorname{dim}(X)+ \operatorname{dim}(Z) - \operatorname{dim}(Y).\)
En ocasiones será útil reformular la ecuación para las dimensiones en términos de la codimensión:
Definición (codimensión):
Dada una subvariedad \(X\) de una variedad \(Y\) decimos que su codimensión (relativa a \(Y\)) es \[ \operatorname{codim}_Y(X) = \operatorname{dim}(Y) - \operatorname{dim}(X). \]
Con esta definición, la ecuación del teorema anterior queda: \[ \operatorname{codim}_X(X\cap Z) = \operatorname{codim}_Y(Z). \]
Transversalidad para funciones
Generalizando a funciones arbitrarias:
Definición (transversalidad para funciones):
Dada una función diferenciable \(f:X\to Y\) y una subvariedad \(Z\) de \(Y\) decimos que \(f\) es transversal a \(Z\) si para todo punto \(p\in f^{-1}(Z)\) se cumple \[ \operatorname{im}(D_pf) + T_{f(p)}Z = T_{f(p)} Y.\]
Teorema:
Si \(f: X \to Y\) es una función transversal a una subvariedad \(Z\) entonces \(f^{-1}(Z)\) es una subvariedad de X y si además es no vacía, entonces se cumple: \[ \operatorname{codim}_X(f^{-1}(Z)) = \operatorname{codim}_Y(Z). \]
Miércoles
Demostramos el teorema de transversalidad.
Véase la sección 5 del capítulo 1 de [GP].
Jueves
Suspensión de actividades.